INFORMACIÓN: LA RECTA

LA RECTA

La recta es una sucesión infinita de puntos, los cuales están ubicados en una misma dirección y en ambos sentidos.

POSTULADOS DE LA RECTA:

Postulado: Por dos puntos diferentes pasa una sola línea recta.

Postulado: Dos rectas se intersecan en uno y solo un punto.

CONCEPTOS DERIVADOS DE LA RECTA:

·         Rayo o semirrecta: un rayo es la parte de una línea recta que comienza en un punto determinado y se extiende en forma indefinida en un sentido; también se le denomina semirrecta. La notación de una semirrecta se efectúa colocando el símbolo          arriba de las letras mayúsculas que representen al rayo.

                   O                           A

                                         Rayo  OA

·         Segmento rectilíneo: un segmento rectilíneo es la porción o sección de una línea recta comprendida entre dos puntos cualesquiera de esta. La notación de un segmento se efectúa colocando el símbolo        sobre las letras mayúsculas que representan los puntos extremos del segmento.

                               A                             B

                                     Segmento  AB

  

POSICIÓN DE DOS RECTAS EN UN PLANO:

La posición relativa de dos líneas rectas trazadas en un mismo plano, es decir, dos rectas coplanares, puede ocurrir de tres maneras: que sean paralelas, perpendiculares u oblicuas.

·         Rectas paralelas: se dice que dos rectas son paralelas si estando en un mismo plano no se intersecan.

·         Rectas perpendiculares: dos rectas son perpendiculares cuando al cruzarse una con la otra forman cuatro ángulos de 90°.

·         Rectas oblicuas: dos rectas son oblicuas cuando al intersecarse no forman ángulos rectos, esto es, cuando no son perpendiculares.

  

               Nota: falta anotar algunas notaciones.

INFORMACIÓN: ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA GEOMETRIA

ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA GEOMETRÍA

Para que la geometría fuera considerada como ciencia, hubo de pasar muchos siglos, hasta que la cultura griega ordenara los conocimientos empíricos adquiridos por el hombre desde tiempos muy remotos, reemplazando la observación y experimentación por deducciones racionales o lógicas, permitiendo con ello, que la geometría se elevara al carácter de ciencia.

SUMERIOS Y BABILONIOS.-La rueda inventada por los sumerios 3500 años A.C., marca en la historia el inicio de la civilización; inventaron la escritura, crearon la aritmética y las construcciones de sus ciudades revelan la aceptación de las figuras geométricas.

     En la antigua Mesopotamia florece la cultura de los Babilonios, herederos de los sumerios: adaptaron la rueda a sus carros de guerra, descubriendo las propiedades de la circunferencia, deduciendo el valor de ¨3¨  como relación entre la circunferencia y el diámetro de un circulo.

    De acuerdo a sus estudios astronómicos, conocieron que el año tiene aproximadamente 360 días, motivo por el cual dividieron la circunferencia en 360 partes iguales, obteniéndose  así el grado sexagesimal.

    También tenían el conocimiento de cómo trazar su hexágono regular inscrito en el circulo; conocían una formula para hallar el área del trapecio rectángulo.

EGIPTO.-Los egipcios obligados por las constantes avenidas (CRECIDAS) del Rio Nilo que año con año inundaba sus tierras de cultivo, por lo cual tenían que rehacer las divisiones de tierra para calcular los impuestos para cada dueño de la superficie cultivada; la aplicación de sus conocimientos geométricos se hicieron sobre la medida de la tierra de lo cual se deduce el significado de GEOMETRIA (medidas de la tierra) cuyas raíces griegas son GEO=tierra   y     METRE= medida.

     También aplicaron sus conocimientos de geometría en la construcción de pirámides como la de KEOPS, KEFREN y MEKERINOS, que son cuadrangulares y sus caras laterales son triangulares equiláteros, la de KEOPS es una de las siete maravillas del mundo antiguo donde se ha comprobado que además de la precisión en sus dimensiones esta perfectamente orientada.

   Los conocimientos de los egipcios están contenidos en cinco papiros, siendo del de mayor interés el de RHIND donde se establecen las reglas para calcular el área del triangulo isósceles, área del trapecio isósceles y el área del circulo; determinaron el valor de 3.1604 como relación entre la circunferencia y el diámetro de un circulo, valor mucho mas aproximado que el de los Babilonios para   ¶.

      Los egipcios empleaban el cordel (TENDEDORES DE CUERDA) para sus operaciones de construcción y diseño, siendo regla, compas y escuadra al mismo tiempo.

GRIEGOS.-Los conocimientos egipcios sobre la geometría eran netamente empíricos, ya que no se cimentaban en una sistematización lógica deducida a partir de axiomas y postulados.

   En Grecia comienza la geometría como ciencia deductiva, con los matemáticos, TALES DE MILETO, HERODOTO, PITAGORAS DE SAMOS y EUCLIDES DE ALEJANDRIA;  quienes fueron a Egipto a iniciarse en los conocimientos de la geometría.

TALES DE MILETO.-(SIGLO VII A.C.) fue uno de los siete sabios y fundador de la escuela ¨JONICA¨  , se inicia en la filosofía y las ciencias, especialmente en la geometría.

     -Resolvió algunas dudas como la altura de las pirámides, conociendo la sombra que proyectan;

    -la igualdad de los ángulos de la base en el triangulo isósceles;

    -el valor del ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto;

    -demostró  algunos teoremas relativos a la proporcionalidad de segmentos determinados en dos rectas cortadas por un sistema de paralelos.

TEOREMA DE TALES DE MILETO:

1.-Los ángulos en la base de un triangulo isósceles son iguales.

2.-Todo diámetro biseca a la circunferencia.

3.-Los ángulos inscritos en una semicircunferencia son iguales.

PITAGORAS DE SAMOS.- (SIGLO VI    A.C.) fue discípulo de Tales de Mileto, fundo en CROTONA, ITALIA la escuela pitagórica, atribuyéndosele el  Teorema que lleva su nombre y que se enuncia:

      ¨El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triangulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos¨.

    Otro de sus teoremas expresa:  ¨La suma de los ángulos interiores de un triangulo cualquiera es igual a dos rectos¨.

    También demostró la construcción del pentágono y poliedros regulares como  tetraedro, exaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

EUCLIDES DE ALEJANDRIA.-   (SIGLO IV  A.C.) uno de los mas distinguidos maestros de la universidad de Alejandría,  y quien por encargo de PTOLOMEO Rey de Egipto, reunió y ordeno los teoremas y demás proporciones geométricas en su obra llamada “ELEMENTOS”  que ha sobrevivido hasta el presente, por lo que se le considera el ¨padre de la geometría¨;  sus  13 libros contienen:

LIBRO I.- Relación de igualdad de triángulos;  Teoremas sobre paralelas; suma de las áreas de triángulos de un polígono; igualdad de las áreas de triángulos o paralelogramos de igual base y altura; teorema de Pitágoras.

LIBRO II.- Conjunto de relaciones de igualdad entre áreas de rectángulos que conducen a la resolución geométrica de la ecuación de segundo grado.

LIBRO III.- Circunferencia, ángulo inscrito.

LIBRO IV.- Construcción de polígonos regulares inscritos o circunscritos a una circunferencia.

LIBRO V.- Teorema general de la medida de magnitudes bajo forma geométrica, hasta los números irracionales.

LIBRO VI.- Proporciones, triangulares  semejantes.

LIBRO VII, VIII y IX .- Aritmética: proporciones, máximo común divisor y números primos.

LIBRO X.- Números inconmensurables (NO SE PUEDE COMPARAR) bajo forma geométrica a partir de los radicales cuadráticos.

LIBRO XI y XII .- Geometría del espacio y en particular, relación entre volúmenes de prismas y pirámides, cilindro y como proporcionalidad del volumen de una esfera al cubo del diámetro.

LIBRO XIII.- Construcción de los cinco poliedros regulares.

PLATON.- (SIGLO IV A.C.)  En la primera mitad de este siglo, se inicio en ATENAS un movimiento científico a través de la academia de Platón; su filosofía establece que la matemática no tiene una finalidad práctica, sino simplemente se cultiva con el único fin de conocer; por esta razón se opuso a las aplicaciones de la geometría.

       Dividió la geometría en ELEMENTAL y SUPERIOR, la elemental comprende todos los problemas que se pueden resolver con regla y compas;  las superior estudia los tres problemas más famosos de la geometría antigua, no resueltos con regla y compas.

LOS TRES PROBLEMAS MÁS FAMOSOS DE LA GEOMETRIA ANTIGUA.

1.-LA CUADRATURA DEL CIRCULO.- Se trata de construir utilizando solamente la regla y el compás el lado de un cuadrado que tenga la misma área que un círculo dado.

2.-LA TRISECCION DEL ANGULO.- El problema se dividir un ángulo en tres partes iguales utilizando como apoyo solamente la regla y el compas, no es mas que en casos particulares pueden resolverse.

3.-LA DUPLICACION DEL CUBO.- Consiste en hallar, mediante una construcción geométrica, un cubo que tenga un volumen doble del de un cubo dado.

     ¨No se trata de problemas que en la actualidad no se hayan  resuelto prácticamente, sino de problemas que tienen una importancia totalmente teórica¨.

ARQUIMEDES DE SIRACUSA.-( 287-212  A.C.)  Estudio en la Universidad de Alejandría y sin duda una de las máximas figuras de las matemáticas griegas, después de grandes disputas con Euclides, se retiro a SIRACUSA donde cultivo todos los campos de las matemáticas (geometría y aritmética principalmente), la astronomía y la física.

        Calculo un valor mas aproximado de, el área de la elipse, el volumen del cono, de la esfera; estudio la llamada ¨ESPIRAL DE ARQUIMIDES¨ , se aplico para la solución de la trisección del ángulo.

APOLONIO DE PERGAMO.- (260-200  A.C.)   Estudio ampliamente las secciones cónicas que 18 siglos después sirvieron a KEPLER en sus investigaciones de astronomía, logrando determinar casi todas sus propiedades.

     En su obra se encuentran también las ideas que coadyuvaron a RENE DESCARTES a crear la geometría analítica, veinte siglos después.

HERON DE ALEJANDRIA.- (SIGLO II D.C.) su obra destaca la demostración de la formula que lleva sus nombre, y que se emplea para calcular el área de un triangulo en función de sus lados.

INFORMACIÓN: CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRIA

CONCEPTOS BASICOS DE LA GEOMETRIA EUCLIDIANA

CONCEPTOS NO DEFINIDOS .- son llamados  conceptos fundamentals que corresponden a terminus tales como:  PUNTO, LINEA, SUPERFICIE Y VOLUMEN, facilmente comprensibles y que no se DEFINEN.

Hay definiciones que son proposiciones que exponent con claridad y precision los caracteres de una cosa.

Una caracteristica de la geometria moderna es que evita la conceptualizacion de aspectos primaries que tienen poco o ningun sentido de ser definidos; así por ejemplo, las definiciones de Euclides:

a)      “ punto es lo que no tiene partes” unicamente indica  “posición” y carece de “dimensiones”.

b)      “linea o recta es un longitude sin anchura”, carece de limites, desconociendose su primero y ultimo  elemento.

CUERPO FISICO Y CUERPO GEOMETRICO.- Son cuerpo fisicos las cosas que nos rodean como: cuadernos, sillas, plumas, escuadras, etc…. Tienen forma, color, peso, dureza, ocupan  un lugar en el espacio. De éstos cuerpos fisicos  la geometria considera solamente su forma y dimensiones, llamándolos cuerpos geometricos o solidos, por ejemplo: los conos, las esferas, los prismas, los cilindros, etc.    Los solidos tienen tres dimensiones, que son :

                 a)largo o longitude

                 b)ancho

                 c)alto o fondo

SUPERFICIE.- Son los limites que separan a los cuerpos del espacio que los rodea, es decir, no tienen  “GROSOR” solamente largo y ancho. Un ejemplo de superficie es la sombra que proyecta un arbol, un poste, etc.. Tambien la cara de un cuerpo geometrico. (representaciones graficas).

 CONCEPTO DE PUNTO.- Un punto geométrico es imaginario tan pequeño que carece de dimensiones; lo anterior es tan solo una idea abstracta ya que una definición satisfactoria de punto, no ha sido posible anunciarla, por lo que “punto” es un termino no definido.

Su representación es la siguiente:

 

LINEA.-La línea es un conjunto de puntos continuos  y que nos permiten distinguir dos clases de líneas que son: La línea recta y la línea curva.

a) LINEA RECTA.- es aquella que tiene sus puntos en una misma dirección.

Una imagen de este conjunto es un reyo luminoso, el borde de una regla, un cordón bien tirante, etc.

Una recta geométrica se prolonga indefinidamente en dos sentidos, es decir, no comienza ni termina.

PROPIEDADES DE LA RECTA:

1.     La distancia mas corta entre dos puntos, es la recta.

2.     Por dos puntos pasa una recta y solamente una.

3.     Por un punto pueden pasar una infinidad de rectas.

4.     Dos rectas no pueden tener más que un solo punto común.

NOTACION DE LA RECTA: la recta generalmente se representa por dos de sus puntos con el símbolo                      encima de las literales de los puntos   (AB), también se representa por rayas y se denominada por letras minúsculas.

b) LINEA CURVA.- es la que está generada por una continuidad de puntos que cambian de dirección frecuentemente;  también se dice que es aquella que no tiene una sola parte recta.

c) LINEA MIXTA.- es aquella que esta formada por una parte recta y otra parte curva.

EXISTEN OTROS TIPOS DE LINEAS….

LINEA QUEBRADA O POLIGONAL.- línea compuesta de segmentos continuos que siguen deferentes direcciones.

LINEA  CURVA SIMPLE CERRADA,- es aquella que al trazarse, empieza y termina en el mismo punto  (elipse y circunferencia).

LINEA POLIGONAL SIMPLE CERRADA.- es aquella que al trazarse con líneas quebradas empieza y termina en el mismo punto. (Polígonos)

CONCEPTO DE PLANO.- una superficie como una pared, el piso, la cubierta de una mesa, los espejos, forman  un plano; en geometría, el plano no tiene limites para su extensión, aunque para representarlo se hace a través de un paralelogramo que muestre su posición; con frecuencia se emplean letras minúsculas para designar un plano.

 DOS PROPIEDADES IMPORTANTES DE LOS PLANOS SON:

1. “Por tres puntos no alineados pasa un plano y solamente uno”.

2. “Dados dos puntos cualesquiera de un plano, la recta que los une esta contenida en el plano”.

  

ALGUNAS PROPIEDADES DE PUNTOS, LINEAS Y PLANOS. (dibujos)

a)     Los puntos A, B y C son colineales si se encuentran sobre una misma recta.

b)    Los puntos A, B y C son coplanares si se encuentran en un mismo plano.

c)     Dos líneas rectas diferentes solo pueden cortarse en un punto común.

d)    Situados dos puntos en un plano, la recta que pasa por estos queda contenida en el plano.

e)     Por tres puntos no colineales pasa un único plano.

f)     La intersección de dos planos es una recta; es decir; dos planos diferentes solo pueden cortarse en una recta común.

PROPOSICIONES MATEMATICAS

PROPOSICIONES MATEMATICAS: el enunciado de una verdad demostrada o que no requiere demostración se denomina ¨PROPOSICION¨.

Las proposiciones matemáticas no siempre son consecuencia de otras: aunque algunas se aceptan como verdaderas por si mismas y que sirven como fundamento a la geometría euclidiana.

Las proposiciones se clasifican en AXIOMA, POSTULADOS, DEFINICIONES, TEOREMAS Y COROLARIOS.

AXIOMA: es una proposición tan evidente y sencilla por si misma que no requiere demostración.

1.     ¨El todo es mayor que cualquiera de sus partes¨.

2.     ¨El todo es igual a la suma de sus partes¨.

3.     ¨Si a cantidades iguales se agregan o quitan cantidades iguales, los resultados son iguales¨.

4.     ¨Si a cantidades iguales se multiplican o dividen por cantidades iguales, los resultados son iguales¨.

5.     ¨Los miembros de una desigualdad pueden permutar sus lugares cambiando el sentido de la desigualdad¨.

POSTULADO: ¨Es una proposición cuya verdad se admite sin demostración, aunque no tiene la evidencia y sencillez del axioma¨.

Por ejemplo:

1. ¨Por dos puntos dados, puede hacerse pasar una recta y solo una¨.

2. ¨La recta es la distancia mas corta entre dos puntos¨.

3. ¨Por un punto puede pasar un numero infinito de rectas¨.

4. ¨Dos rectas no pueden cortarse en mas de un punto¨.

5. ¨Todo segmento de recta puede prolongarse indefinidamente en ambos sentidos¨.

DEFINICION: ¨Es una proposición que implica casi siempre una descripción clara y precisa de los caracteres de una cosa¨.

Por ejemplo:

1.     Ángulos opuestos por el vértice son aquellos en que los lados del uno son prolongaciones de los lados del otro¨.

2.     ¨Ángulos adyacentes son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común, situado entre ellos¨.

3.     ¨Paralelogramo es el cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos¨.

4.     ¨Bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales¨.

                                              

TEOREMA: Es una proposición que exige demostración. La demostración consta de un conjunto de razonamientos lógicos que conducen a la evidencia de la proposición, a partir de hechos dados o hipótesis incluidas en el enunciado.

En el enunciado de todo teorema se distinguen dos elementos, que son:

1. LA HIPOTESIS que es lo que se supone y
2. LA TESIS que es lo que se quiere demostrar.

EJEMPLOS:

1. Dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas.(dibujo)

2. Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.(dibujo)

3. La suma de los ángulos interiores de un triangulo es igual a dos ángulos rectos (180°).(dibujo)

  

COROLARIO: Es una proposición que es CONSECUENCIA INMEDIATA DE UN TEOREMA, y cuya demostración requiere un ligero razonamiento y en ocasiones ninguno.

EJEMPLOS:

1.     La proposición: ¨Dos puntos determinan una recta¨, es corolario del postulado: ¨Por dos puntos dados, puede hacerse pasar una recta y solo una¨.

2.     La proposición: ¨Los ángulos agudos de un triangulo rectángulo suman 90°, Es corolario del teorema: ¨La suma de los ángulos interiores de un triangulo es igual a dos ángulos rectos (180°).

3.     La proposición: ¨Todos los ángulos rectos son iguales¨, es corolario del postulado: ¨Todos los ángulos de lados colineales son iguales¨.

METODO DEDUCTIVO

METODO DEDUCTIVO: El razonamiento deductivo, aplicado a la demostración del conocimiento matemático, es una herramienta muy importante, ya que la aceptación de una proposición como verdadera no puede basarse en la experimentación, pues ésta depende de las condiciones particulares en las que se realice; tampoco se puede basar en la observación, a causa de que la vista resulta engañosa; ni en la medición, porque el resultado de ella esta ligado a la pericia de quien mide y a la precisión del instrumento utilizado.

En una demostración mediante el método deductivo se siguen estos pasos:

1. Determinación de hipótesis y la tesis del teorema que se debe demostrar.
2. Trazo de una figura que represente la interpretación geométrica del enunciado, así como el empleo de construcciones geométricas auxiliares.
3. Desglosar el razonamiento, empleando los postulados y los axiomas, así como otros teoremas previamente demostrados, como justificación de las razones que permitan llegar al resultado o a la conclusión deseada.
4. Confirmación de la tesis (conclusión).

EJEMPLO:

1.     TEOREMA: ¨Dos ángulos opuestos por el vertice son iguales¨.

2.FIGURA                                                   1.HIPOTESIS                                1. TESIS

3.RAZONAMIENTO                                                      FUNDAMENTOS

4.CONCLUSION